Číselné obory 1. díl

Čísla jsou hlavním stavebním kamenem celé matematiky. Sice existují matematické struktury a oblasti, ve kterých se čísla nemusí vůbec vyskytovat (například značná část geometrie), ale pokud jde o matematiku, tak jak ji známe z běžného života a jak se vyvíjela v průběhu historie, jejím naprostým základem jsou čísla.

Čísla vnímáme jako něco natolik samozřejmého, že nad nimi možná ani moc nepřemýšlíme a některé lidi by tudíž mohlo i překvapit, že existuje hned několik druhů čísel, které mají rozdílné vlastnosti. A to ani zdaleka nemusíme chodit za hranice toho, co používáme v každodenním životě nebo ve škole.

Tak schválně: Například se vás prodavačka u pokladny zeptá, kolik rohlíků máte v sáčku, a vy odpovíte že osm. V zimním dnu se chystáte jít ven a podíváte se na teploměr, který vám ukáže, že venku jsou mínus 3 stupně Celsia. Budete měřit rozměry vašeho pokoje a zjistíte, že jeho šířka činí 4,35 metrů. Vy (nebo vaše dcera či váš syn) budete řešit domácí úkol, ve kterém bude číslo ln 2, tzn. přirozený logaritmus čísla 2.

Máme tedy čtyři různá čísla: 8; -3; 4,35 a ln 2. Co myslíte? Jedná se o stejný druh čísel nebo o druhy rozdílné? Odpověď naleznete v tomto článku, ve kterém se podrobně podíváme číslům na vroubek a vysvětlíme si, jaké druhy čísel v matematice vůbec existují, jaké mají vlastnosti i jaký je mezi nimi vzájemný vztah.

Číselné obory

V matematice se jednotlivým druhům čísel říká číselné obory. Jsou to v podstatě množiny a stejně jako jakékoli jiné množiny je označujeme velkými písmeny abecedy. V tomto článku si popíšeme čtyři hlavní číselné obory, se kterými se v matematice setkáme nejčastěji. Jedná se o:

  • přirozená čísla – N
  • celá čísla – Z
  • racionální čísla – Q
  • reálná čísla – R

Kromě těchto číselných oborů existuje ještě mnoho dalších, zejména obor komplexních čísel, který značíme C. S komplexními čísly se v praktickém životě už tak často nesetkáme, ale často se používají například v elektrotechnice a různých oblastech fyziky. Zmiňuji se o nich proto, že patří mezi standardní středoškolské učivo a budeme se jim věnovat v některém jiném článku.

Přirozená čísla

Obor přirozených čísel značíme N. Patří sem všechna celá kladná čísla, tj. čísla 1; 2; 3; 4; 5 atd. Dá se říci, že jsou to první čísla, která lidé v historii začali používat, aby vyjádřili tzv. kusovost – to znamená kolik objektů stejného typu někde je.

Těmito objekty může být cokoli, co se nedá dělit na menší části, aniž by to ztratilo jeho vlastnosti: například lidé, různá zvířata či předměty a podobně. (Jasně, například psací pero můžete rozlomit na dvě části, ale pak už to nebude psací pero.) Také jsou to čísla, která se jakožto děti naučíme používat zpravidla jako první (1 ovečka, 2 ovečky, 3 ovečky…).

Mezi přirozená čísla nepatří číslo 0, nicméně na některých školách se i číslo 0 mezi přirozená čísla zahrnuje – zejména na těch informatických, protože pokud víte něco o tom, jak fungují počítače, nebo se zajímáte třeba o programování, tak víte, že spousta věcí – pokud jde o jejich pořadí – se zde čísluje od nuly (například iterace cyklů, indexy prvků polí a podobně).

Přirozená čísla jsou tedy velmi jednoduchým oborem.

Celá čísla

Obor celých čísel značíme Z. Patří sem všechna celá čísla bez ohledu na znaménko, tzn. celá čísla kladná, záporná a také číslo 0. Z předchozí věty vyplývá, že do oboru celých čísel patří i všechna čísla přirozená, která jsou vlastně jeho podmnožinou. Celou situaci znázorňuje následující obrázek:

Obrázek: Celá čísla

I tohle je myslím ještě stále jednoduché.

Racionální čísla

Zde to začne být malinko složitější, ale nenechte se odradit – pokud pochopíte racionální čísla, tak to nejtěžší budete mít za sebou.

Obor racionálních čísel značíme Q. Mezi racionální čísla patří všechna čísla, jenž mají některou z těchto vlastností:

  1. Lze je vyjádřit zlomkem, který má v čitateli i jmenovateli číslo celé (kromě případu, kdy by ve jmenovateli byla nula, protože pak bychom dělili nulou, a to v matematice nemůžeme).
  2. Mají konečný počet desetinných míst.
  3. Mají nekonečný počet desetinných míst s periodickým rozvojem.

Ve skutečnosti platí, že pokud má číslo jednu z vlastností č. 2 nebo 3, pak má automaticky i vlastnost č. 1, tzn. že ho lze vyjádřit zlomkem, který má v čitateli i jmenovateli čísla celá. A platí to také naopak: pokud má číslo vlastnost č. 1, pak má automaticky i vlastnost č. 2 nebo 3, tzn. že ho lze vyjádřit buď desetinným číslem s konečným počtem desetinných míst, nebo desetinným číslem s nekonečným počtem desetinných míst s periodickým rozvojem.

Možná to vypadá na první pohled složitě, ale když se nad tím zamyslíte, zjistíte, že všechny tyto vlastnosti mají stejnou vnitřní logiku.

Pojďme si proto pro lepší pochopení uvést nějaké příklady racionálních čísel. Začneme zlomky, které mají v čitateli i jmenovateli celé číslo:

    \[\frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{9}{110}; -\frac{9}{4}; \frac{6}{2}\]

První číslo zleva, tedy tři poloviny, lze v desetinném formátu zapsat jako 1,5. Je to tedy číslo s konečným počtem desetinných míst, což odpovídá naší definici racionálního čísla.

Periodický desetinný rozvoj

Na tomto místě se seznámíme s tím, co to vlastně znamená onen periodický desetinný rozvoj. Snad nejlépe to pochopíme z dalšího čísla našeho seznamu, kterým je zlomek jedna třetina.

Ten můžeme v desetinném formátu zapsat jako „jedna celá tři periodických“, tedy jako 1,3333333333…, zkrátka jednička, desetinná čárka a za ní nekonečně mnoho trojek. Protože takto zapisovat desetinná čísla s periodickým rozvojem by bylo velmi nepraktické, v matematice se používá následující zápis:

    \[1,\overline{3}\]

kde vodorovná čára nad číslicí tři označuje právě tzv. periodu desetinného čísla, tedy tu jeho desetinnou část, která se bude od této pozice již stále opakovat.

V našem případě se tedy jedná o číslo s nekonečným počtem desetinných míst s periodickým rozvojem, což také odpovídá naší definici racionálního čísla.

Zde je důležité podotknout, že perioda nemusí být tvořena jen jedinou cifrou a ani nemusí začínat hned za desetinnou čárkou. Ve skutečnosti může být tvořena libovolným (ale konečným) počtem cifer a také může začínat za desetinnou čárkou na libovolné pozici.

To je například třetí číslo zleva z našeho výčtu: devět stodesetin. V desetinném formátu by jeho zápis vypadal takto:

    \[0,0\overline{81}\]

Tedy 0,08181818181…

Vidíme, že perioda je tvořena sekvencí dvou cifer 8 a 1, která se opakuje až od druhého desetinného místa. Jedná se tedy také o číslo s nekonečným počtem desetinných míst s periodickým rozvojem, což opět odpovídá naší definici racionálního čísla.

Konečný desetinný rozvoj

Další číslo, mínus devět čtvrtin, lze zapsat v desetinném formátu jako -2,25. Má tedy konečný počet desetinných míst (v tomto případě dvě) a tím pádem rovněž splňuje definici racionálního čísla.

A konečně číslo šest polovin je vlastně 3. Jde tedy o celé číslo (s nulovým počtem desetinných míst).

Zde je opět vhodné podotknout, že i čísla, která jsou celá a jejich počet desetinných míst je nulový, a tedy z matematického hlediska konečný, patří mezi čísla racionální.

Proto můžeme i číslo 3, stejně jako kterékoli jiné celé číslo, právem zařadit do oboru racionálních čísel.

Převod racionálních čísel vyjádřených zlomky na čísla desetinná a naopak

Jak jsme se tedy právě ukázali, tak každý náš zlomek lze převést buď na číslo s konečným počtem desetinných míst nebo s nekonečným, ale periodickým desetinným rozvojem.

Samozřejmě je možné tento převod provést i obráceně. Například číslo -2,25 můžeme zapsat jako zlomek, kde v čitateli bude číslo -225 a ve jmenovateli setiny. Toto mínus můžeme poté zapsat před zlomkovou čáru, a následně zlomek vykrátit až na mínus sedm čtvrtin (náš zlomek můžeme vykrátit buď rovnou 25ti nebo postupně jako v následující ukázce):

    \[-2,25=\frac{-225}{100}=-\frac{225}{100}=-\frac{45}{20}=-\frac{9}{4}\]

I každé desetinné číslo s nekonečným periodickým rozvojem lze převést na zlomek, který bude v čitateli i jmenovateli obsahovat celá čísla. Postup je v tomto případě o něco složitější a souvisí s posloupnostmi – provádí se pomocí součtu nekonečné geometrické řady. Protože tato metoda přesahuje téma tohoto článku, nebudeme se jí zde věnovat. Pouze dodám, že existuje a spolehlivě funguje pro všechna čísla tohoto typu.

Vztah racionálních čísel k oborům čísel celých a přirozených

Z předchozího textu vyplývá, že do oboru racionálních čísel patří i čísla celá, do kterých zase patří čísla přirozená.

Opakuje se nám tedy relace, kdy jsme si ukázali, že přirozená čísla jsou podmnožinou čísel celých – obdobně platí i zde, že čísla celá (a tím pádem i přirozená) jsou podmnožinou čísel racionálních.

Situaci opět znázorňuje následující obrázek:

Obrázek: Racionální čísla

Jak vidíme, každý další číselný obor vlastně jen rozšiřuje obory předchozí o další čísla!

Reálná čísla

To nejtěžší máme úspěšně za sebou a můžeme jít do finále. Posledním číselným oborem, který si v tomto článku představíme, jsou čísla reálná.

Obor reálných čísel značíme R. Je to nejpoužívanější a nejdůležitější číselný obor v matematice, ve kterém se řeší drtivá většina všech matematických příkladů či úloh.

V předchozí části článku, týkající se racionálních čísel, jsme rozšířili obor celých čísel o celočíselné zlomky, čísla desetinná s konečným počtem desetinných míst, a dokonce o čísla s nekonečným počtem desetinných míst s periodickým desetinným rozvojem. Obsáhli jsme toho tedy opravdu hodně a na první pohled by se mohlo zdát, že racionální čísla už v sobě zahrnují úplně všechna „běžná“ čísla a tím pádem to tady skončí. Je tu ale jeden drobný háček…

Tento háček se nazývá iracionální čísla. (Nepleťte si to prosím s čísly imaginárními, která patří až do oblasti čísel komplexních, zatímco iracionální čísla jsou stále čísla čistě reálná.)

Iracionální čísla

Co by ale iracionální čísly vlastně mohlo být? Možná jste si všimli, že v definici racionálních čísel, kterou jsme si uvedli výše, není jedna věc, a sice desetinná čísla s nekonečným neperiodickým rozvojem. To znamená taková čísla, která mají nekonečný počet desetinných míst, ale tyto desetinné číslice nikde netvoří žádnou periodu, tedy sekvenci, která by se začala někde opakovat. A právě takovým číslům říkáme iracionální.

Mezi iracionální čísla patří například Ludolfovo číslo π, základ přirozených logaritmů e neboli Eulerovo číslo, různé odmocniny, hodnoty logaritmů a podobně. A samozřejmě také různé násobky či podíly těchto čísel, které známe například z goniometrie.

Vztah iracionálních a reálných čísel

Takže konečně jsme dostali obor reálných čísel, jako další rozšíření množiny čísel racionálních. Situaci opět znázorňuje následující obrázek:

Obrázek: Vztah mezi iracionálními a reálnými čísly

Pozor! Iracionální čísla tvoří pouze vnější „mezikruží“, které je na obrázku vyšrafované – nepatří mezi ně žádná čísla z vnitřních kruhů! A proto se pro iracionální čísla zpravidla ani nezavádí žádné označení – je to prostě ta část reálných čísel, která rozšiřuje obor čísel racionálních právě na čísla reálná.

Reálná čísla jsou tedy úplně všechna čísla v celém obrázku, z nějž opět můžete vidět, že jejich podmnožinou jsou čísla racionální, jejichž podmnožinou jsou čísla celá, jejichž podmnožinou jsou čísla přirozená.

Reálná čísla by teprve pokryla celou číselnou osu, kdy každému reálnému číslu by na ní odpovídal právě jeden bod (obraz čísla) a opačně – každému bodu na číselné ose by odpovídalo právě jedno reálné číslo.

Vztahy mezi číselnými obory

Celé uspořádání číselných oborů má tzv. inkluzivní charakter (inkluze znamená, že něco je podmnožinou něčeho jiného). To znamená, že libovolný číselný obor, jenž jsme si popsali v tomto článku, je vždy podmnožinou jiného číselného oboru, který je sám podmnožinou ještě jiného číselného oboru a tak dále.

Ukažme si celé toto uspořádání ještě jednou:

Obrázek: Reálná čísla

Jak můžete vidět, patří-li nějaké číslo do určitého číselného oboru, tak automaticky patří i do všech oborů širších, tzn. těch, které jsou na obrázku vzhledem k tomuto číslu ohraničeny vnějšími kružnicemi, ale nemusí nutně patřit do oboru, které jsou ohraničeny kružnicemi vzhledem k tomuto číslu vnitřními, tedy blíže ke středu celého schématu.

Například číslo 2, které patří do oboru přirozených čísel, patří zároveň i do všech oborů, které tuto množinu rozšiřují, tedy do oboru čísel celých, racionálních i reálných. Ale například číslo 5,7 patří do oboru čísel racionálních a reálných, ale nepatří do oboru čísel celých a tím pádem ani do oboru čísel přirozených.

Takže odpověď na otázku z úvodu tohoto článku zní ano i ne. Záleží, jak se to vezme. Měli jsme čtyři čísla: 8; -3; 4,35 a ln 2. Všechna tato čísla patří mezi čísla reálná. Z tohoto pohledu se tedy jedná o stejný druh. Mezi čísla racionální ale patří už jen 8; -3 a 4,35. Mezi čísla celá pak patří pouze 8 a -3. A konečně mezi čísla přirozená jenom číslo 8.

Závěr

Číselné obory patří mezi základní znalosti matematiky. Pokud jste článek dočetli až sem, pak vám velice gratuluji! Právě jste si osvojili znalosti, které tvoří jeden ze „vstupních bodů“ do celé matematiky a položili jste tak stavbě svého matematického vzdělání jeden ze základních kamenů, na kterých celá matematika stojí.

dalším díle článku na téma číselných oborů si řekneme ještě něco málo navíc k jejich značení a také se podíváme na jejich podmnožiny. Vysvětlíme si také například to, jaký je rozdíl, když se řekne číslo kladné, a když se řekne číslo nezáporné. Ale nemějte obavy – nepůjde už o nic složitého – tu hlavní a nejdůležitější část máte úspěšně za sebou.

Jsem lektor matematiky a tvůrce matematických vzdělávacích online kurzů. Pomáhám úspěšně zvládnout matematiku studentům, které tento předmět trápí nebo kteří si chtějí zlepšit své znalosti a mít lepší výsledky.