Číselné obory 2. díl

minulém díle článku jsme si vysvětlili a důkladně rozebrali, co to jsou číselné obory a jaké mají vlastnosti.

Toto téma považuji za jedno z nejzákladnějších z celé matematiky a myslím si, že pokud by se někdo potřeboval naučit nebo si třeba zopakovat celou středoškolskou matematiku od začátku, bylo by dobré začít právě tady. Dalo by se totiž říci, že číselné obory jsou pro matematiku něčím, čím je Mendělejevova periodická tabulka prvků pro chemii.

Popsali jsme si čtyři nejpoužívanější číselné obory – přirozená čísla N, celá čísla Z, racionální čísla Q a reálná čísla R. (Komplexní čísla C sice také patří do středoškolské matematiky, ale jedná se již o rozsáhlejší oblast, která se obvykle probírá samostatně.)

V tomto článku téma číselných oborů dokončíme a doplníme o některé poznatky, se kterými se můžete často setkat zvláště v textových zadáních různých matematických příkladů.

Čísla z hlediska znaménka

Kromě zmíněných číselných oborů můžeme čísla samozřejmě rozlišovat ještě podle jejich znaménka a dle nich tvořit z číselných oborů jejich podmnožiny.

Nebude to samozřejmě platit pro čísla přirozená, protože to jsou čísla kladná a celá, a tak už z definice do tohoto oboru žádné záporné číslo nepatří.

Každý ze zbývajících tří číselných oborů ale můžeme rozdělit podle jejich znaménka do těchto čtyř podmnožin:

  • kladná čísla
  • záporná čísla
  • nekladná čísla
  • nezáporná čísla

Co to jsou kladná a záporná čísla je vám nejspíš jasné. Kladná čísla jsou taková čísla, která jsou větší než číslo 0 a záporná taková, která jsou menší než číslo 0.

U nekladných a nezáporných čísel je to nepatrně (ale skutečně jen nepatrně) složitější.

Rozdíl mezi kladnými a nezápornými čísly, resp. rozdíl mezi zápornými a nekladnými čísly, spočívá pouze v čísle 0. Nula totiž nemá žádné znaménko – není ani kladná ani záporná. Ale můžeme o ní prohlásit, že je nezáporná a také nekladná.

V důsledku toho do nekladných čísel patří všechna čísla záporná, a navíc i číslo 0. A obdobně platí, že do nezáporných čísel patří všechna čísla kladná a rovněž navíc i číslo 0.

(Nebo bychom to mohli říci i obráceně, a sice že mezi čísla záporná patří všechna čísla nekladná kromě čísla 0 a mezi čísla kladná patří všechna čísla nezáporná kromě čísla 0.)

Například číslo 5 je číslo kladné a zároveň nezáporné. Číslo -5 je číslo záporné a zároveň nekladné. A číslo 0, jak už jsme si řekli, je nezáporné i nekladné.

Značení podmnožin číselných oborů

Pokud chceme takto vytvořenou podmnožinu označit, přidáme k písmenu daného číselného oboru do horního indexu znaménko plus nebo mínus a případně ještě do dolního indexu nulu.

Uveďme si několik příkladů, se kterými se v matematice můžeme setkat nejčastěji.

    \[ N_0\]

…označuje všechna nezáporná celá čísla, to znamená přirozená čísla a číslo 0, např. 0; 1; 2; 3

    \[ R^{+}\]

…označuje všechna kladná reálná čísla, např. 2,1; π; 5; 29,88

    \[R^{-}\]

…označuje všechna záporná reálná čísla, např. -2,1; -π; -5; -29,88

    \[ R_0^{+}\]

…označuje všechna nezáporná reálná čísla, např. 0; 2,1; π; 5; 29,88

    \[ R_0^{-}\]

…označuje všechna nekladná reálná čísla, např. 0; -2,1; -π; -5; -29,88

    \[ Z^{-}\]

…označuje všechna záporná celá čísla, např. -1; -2; -3

    \[ Z_0^{-}\]

…označuje všechna nekladná celá čísla, např. 0; -1; -2; -3

Z oboru celých čísel nemá smysl dělat podmnožinu celých kladných čísel, kterou bychom označili Z+, protože taková podmnožina je zcela identická s oborem přirozených čísel, jenž můžeme označit jednoduše písmenem N.

Písmena se zdvojenými čarami

Možná jste si všimli, že mnohdy se místo běžných velkých písmen pro označování číselných oborů (N, Z, Q, R) používají písmena, která jsou jakoby napsána dvojitými čarami (jedná se o speciální řez písma nazývaný Blackboard bold) – viz následující obrázek:

    \[\mathbb{N}, \mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}\]

Proč tomu tak je? V minulém článku jsme si řekli, že číselné obry jsou ve své podstatě množiny a množiny se v matematice obecně značí velkými písmeny.

Jenže nejrůznější množiny si můžeme definovat sami a můžeme je také označit kterýmkoli velkým písmenem. Proto pro zdůraznění skutečnosti, že se nejedná „jen tak o nějakou“ množinu, kterou někdo vytvořil v rámci daného příkladu či teoretického popisu, ale právě o tu množinu, která je číselným oborem, se někdy používá právě tento speciální řez písma.

Jinak mezi těmito dvěma značeními není z matematického hlediska vůbec žádný rozdíl – tedy když máme na mysli například obor reálných čísel a označíme ho písmenem R v řežu Blackboard bold jako na posledním obrázku, tak to není nějaký jiný obor reálných čísel, který by snad měl jiné vlastnosti.

Závěr

Teď již tedy víte, co to znamená, když v zadání příkladu nebo nějakém matematickém popisu narazíte například na text: „Spočítejte neznámou x ∈ Z.“, nebo třeba „Pro proměnnou x platí x ∈ R+.“ V prvním přídě to značí, že máte příklad spočítat pouze v oboru celých čísel (a pokud vám celé číslo nevyjde, musíte napsat, že příklad nemá v tomto číselném oboru řešení). Ve druhém případě se myslí, že x patří do množiny reálných, ale zároveň pouze kladných čísel.

Úplně nejčastěji se setkáte se zápisem x ∈ R, protože obor reálných čísel je nejpoužívanějším číselným oborem vůbec. Když tedy tento zápis někde v matematice uvidíte, znamená to, že pro x neplatí žádná omezení a na konci výpočtu nemusíte řešit, jestli váš výsledek neporušuje nějaké podmínky.

Jsem lektor matematiky a tvůrce matematických vzdělávacích online kurzů. Pomáhám úspěšně zvládnout matematiku studentům, které tento předmět trápí nebo kteří si chtějí zlepšit své znalosti a mít lepší výsledky.