Kvadratické rovnice 2. díl

minulém díle článku jsme si popsali veškerou základní teorii ke kvadratickým rovnicím a ukázali si její řešení na jednoduchém příkladu.

Příklad, který jsme řešili, byla tzv. úplná kvadratická rovnice. Řekli jsme si, že úplná kvadratická rovnice obsahuje všechny tři své členy – kvadratický, lineární a absolutní – a její obecný tvar vypadá následovně:

    \[ax^2+bx+c=0\]

Jak už napovídá přívlastek „úplná“, existují i kvadratické rovnice neúplné.

Co to znamená a jaký je mezi úplnou a neúplnou kvadratickou rovnicí rozdíl? Přesně na to se zaměříme v tomto článku a také si ukážeme alternativní a jednodušší postupy, které se při řešení neúplných kvadratických rovnic zpravidla používají.

Neúplná kvadratická rovnice

Neúplná kvadratická rovnice je taková rovnice, která nemá buď lineární nebo absolutní člen anebo ani jeden z nich.

Kvadratický člen mít kvadratická rovnice musí – právě ten z ní totiž dělá kvadratickou rovnici, a pokud bychom jej vynechali, tak už by se nejednalo o rovnici kvadratickou, ale o rovnici lineární.

Podle toho, který z těchto dvou členů v kvadratické rovnici chybí, můžeme rozlišit dva druhy neúplných kvadratických rovnic:

  1. Kvadratická rovnice bez lineárního členu, pro kterou se ale častěji používá název ryze kvadratická rovnice a v tomto článku jej budeme používat rovněž.
  2. Kvadratická rovnice bez absolutního členu.

Ještě, než se na oba tyto druhy podíváme blíže, tak si řekneme, že i neúplné kvadratické rovnice můžeme řešit naprosto stejným způsobem jako kvadratické rovnice úplné – to znamená pomocí vzorců pro výpočet diskriminantu a kořenů, které jsme si popsali v minulém díle článku.

Proč se tedy vůbec věnovat jiným postupům jejich řešení? Protože jsou jednodušší a nemusí se při nich počítat ani diskriminant ani používat vzorec pro výpočet kořenů pomocí koeficientů.

Ryze kvadratická rovnice

Tento druh neúplné kvadratické rovnice postrádá lineární člen bx. Její obecný tvar tedy vypadá takto:

    \[ax^2 + c = 0\]

Takovou rovnicí může být například tato kvadratická rovnice:

    \[x^2-16=0\]

Ukážeme si na ní oba postupy řešení – „klasický“ i jednodušší alternativní, abychom měli srovnání a lépe pochopili hlubší souvislosti.

Postup řešení ryze kvadratické rovnice pomocí vzorců pro diskriminant a kořeny

Nejdříve tuto rovnici vyřešíme stejným způsobem, který se používá u kvadratických rovnic úplných.

1. Vypíšeme si její koeficienty:

a = 1
b = 0
c = -16

Proč je koeficient b roven nule? Kdybychom totiž tuto rovnici chtěli zapsat stejným způsobem, jako kvadratickou rovnici úplnou, udělali bychom to takhle:

    \[x^2+0x-16=0\]

Jenže 0x se bude rovnat nule, protože když v matematice cokoli vynásobíme nulou, tak výsledek bude vždy 0.

Dostali bychom tedy tvar

    \[x^2+0-16=0\]

a protože psát nulu, kterou přičítáme k levé straně rovnice, je zbytečné, dostaneme nakonec naši původní rovnici, kterou řešíme:

    \[x^2-16=0\]

Pro každou ryze kvadratickou rovnici vždy platí, že její koeficient b je roven nule.

2. Vypočítáme diskriminant:

    \begin{align*}D&=b^2-4ac= \\&=0^2-4\cdot1\cdot(-16)= \\&=0-(-64)= \\&=0+64=64\end{align*}

3. Vypočítáme kořeny:

    \begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}= \\&=\frac{-0\pm\sqrt{64}}{2\cdot1}= \\&=\frac{\pm\sqrt{64}}{2}= \\&=\frac{\pm8}{2}=\pm4\end{align*}

Dostali jsme tedy dva kořeny x1 = 4 a x2 = -4.

Jednodušší postup řešení ryze kvadratické rovnice

Vidíme, že kořeny rovnice naší rovnice jsou co do absolutní hodnoty stejné a liší se pouze znaménkem. Jsou to tedy čísla opačná. A to je další vlastnost všech ryze kvadratických rovnic: Pro každou ryze kvadratickou rovnici vždy platí, že její kořeny – pokud existují – jsou opačná čísla.

A nyní si ukážeme jednodušší postup pro řešení naší ryze kvadratické rovnice:

1. Kvadratický člen ponecháme na levé straně rovnice a absolutní člen si převedeme na její pravou stranu. K naší rovnici tedy přičteme číslo 16:

    \begin{align*}x^2-16&=0\;\lvert+16 \\x^2&=16\end{align*}

2. Obě strany rovnice odmocníme, přičemž k neznámé x na levé straně dopíšeme dolní indexy 1,2 a před odmocninu na pravé straně napíšeme obě znaménka ±. Dostaneme:

    \begin{align*}x_{1,2}&=\pm\sqrt{16} \\x_{1,2}&=\pm4\end{align*}

Hotovo. Naše rovnice je vyřešená. Jak můžete vidět, tento způsob výpočtu je podstatně jednodušší a rychlejší.

Možná se ptáte, proč jsme před odmocninu čísla 16 museli napsat znaménko plus i mínus. Je to proto, že druhá odmocnina je v matematice definovaná jako takové nezáporné číslo (tedy číslo kladné nebo nula), které pokud vynásobíme sebou samým, tak dostaneme právě to číslo, které odmocňujeme. A problém je ve slově „nezáporné“. Ve skutečnosti totiž platí, že 4·4 = 16, ale také (-4)·(-4) = 16.

Proto oba výsledky x1 = 4 i x2 = -4 vyhovují naší rovnici.

Kdybychom totiž na pravé straně rovnice ponechali pouze druhou odmocninu z čísla 16 bez záporné varianty, dostali bychom výsledek pouze kladné číslo 4. My se ale pohybujeme na poli kvadratických rovnic, které mohou mít klidně kořeny dva, a tak záporná čísla nemůžeme ignorovat.

Abychom mohli použít právě zmíněný postup, je potřeba mít na levé straně rovnice pouze jedno x2.

Ukažme si proto ještě jeden příklad. Budeme mít rovnici:

    \[9x^2-4=0\]

V tomto případě ze všeho nejdřív musíme rovnici vydělit číslem 9 a teprve potom použít právě popsaný postup. Celé naše řešení tedy bude vypadat následovně:

    \begin{align*}9x^2-4&=0\;\lvert:9 \\x^2-\frac{4}{9}&=0\;\lvert+\frac{4}{9} \\x^2&=\frac{4}{9} \\x_{1,2}&=\pm\sqrt{\frac{4}{9}} \\x_{1,2}&=\pm\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} \\x_{1,2}&=\pm\frac{2}{3}\end{align*}

Rovnice má tedy opět dva kořeny, které tvoří opačná čísla – v tomto případě zlomky.

Poslední důležitá věc, kterou je třeba zmínit, je případ, kdy ryze kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení.

Je to tehdy, pokud na její levé straně bude za neznámou x2 následovat kladné číslo (diskriminant by v tomto případě vyšel záporný). Po jeho převedení na stranu pravou se z něj totiž stane číslo záporné a druhá odmocnina se záporných čísel v oboru reálných čísel neexistuje.

Opět si to ukážeme na příkladu.

Pozměníme zadání rovnice uvedené výše tak, že místo čísla -16 na její levé straně bude číslo +16 a pokusíme se ji vyřešit:

    \begin{align*}x^2+16&=0\;\lvert-16  \\x^2&=-16 \\x_{1,2}&=\pm\sqrt{-16}\end{align*}

Doslali jsme se do situace, kdy máme pod odmocninou záporné číslo. A protože druhá odmocnina se záporných čísel neexistuje, tato rovnice nemá řešení.

Jediný případ, kdy bude mít ryze kvadratická rovnice pouze jeden (dvojnásobný) kořen, je neúplná ryze kvadratická rovnice, která navíc nemá ani absolutní člen. I tento druh rovnice se stále nazývá ryze kvadratická. Řekli jsme si, že pokud ryze kvadratická rovnice má řešení, tak jsou to vždy čísla opačná. Jediné číslo, jehož opačným číslem je ono samo, je nula, a z toho vyplývá, že tento dvojnásobný kořen bude právě číslo 0.

Jak taková ryze kvadratická rovnice, která nemá ani lineární, ani absolutní člen, vypadá? Je to ta nejjednodušší kvadratická rovnice vůbec:

    \[x^2=0\]

Kvadratická rovnice bez absolutního členu

Tento druh neúplné kvadratické rovnice, jak napovídá už její název, nemá absolutní člen – tedy postrádá číslo, které je označováno jako koeficient c. Koeficient c libovolné kvadratické rovnice bez absolutního členu je vždy roven nule. Opět bychom ji mohli vyřešit stejným postupem, jako úplnou kvadratickou rovnici, a to tak, že za c prostě všude dosadíme nulu.

Opět si ukážeme na příkladu „klasický“ i alternativní kratší způsob jejího řešení.

Budeme mít například tuto rovnici bez absolutního členu:

    \[3x^2+5x=0\]

Postup řešení kvadratické rovnice bez absolutního členu pomocí vzorců pro diskriminant a kořeny

1. Vypíšeme si její koeficienty:

a = 3
b = 5
c = 0

2. Spočítáme diskriminant:

    \begin{align*}D&=b^2-4ac= \\&=5^2-4\cdot3\cdot0= \\&=25-0=25\end{align*}

3. Vypočítáme kořeny:

    \begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}= \\&=\frac{-5\pm\sqrt{25}}{2\cdot3}= \\&=\frac{-5\pm5}{6}\end{align*}

    \begin{align*}x_1&=\frac{-5+5}{6}= \\&=\frac{0}{6}=0 \\x_2&=\frac{-5-5}{6}= \\&=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}\end{align*}

Jednodušší postup řešení kvadratické rovnice bez absolutního členu

1. Kvadratická rovnice bez absolutního členu má na levé straně v obou zbývajících členech neznámou x. Toho můžeme využít a vytknout si toto x před závorku:

    \begin{align*}3x^2+5x&=0 \\x(3x+5)&=0\end{align*}

2. Jakmile máme rovnici v tomto tvaru, k dalšímu postupu si již vystačíme s čistou „selskou“ logikou. Jak? Zamyslete se nad následující úvahou:

Na pravé straně rovnice máme číslo 0. Protože obě strany rovnice se sobě rovnají (jinak by to nebyla rovnice), tak to znamená, že levá strana rovnice se musí také rovnat nule. A tím pádem si můžeme položit otázku, kdy, resp. za jakých podmínek, se levá strana rovnice bude nule rovnat?

Levou stranu rovnice nyní tvoří součin dvou činitelů: tím prvním je neznámá x před závorkou a tím druhým samotná závorka.

V matematice platí, že když mezi sebou násobíme více věcí, tak pokud kterákoli z nich bude nulová, pak i celý jejich součin bude nulový!

V našem případě to znamená, že pokud se bude rovnat nule x před závorkou, tak se bude rovnat nule i násobek tohoto x a závorky čili celá levá strana naší rovnice. A stejně tak platí, že celá levá strana se bude rovnat nule, pokud se bude rovnat nule výraz v závorce.

Máme tedy dvě možnosti. Aby naše rovnice byla splněna, musí platit buď

    \[x=0\]

nebo

    \[3x+5=0\]

V prvním případě jsme už vlastně dostali první kořen rovnice, takže ho můžeme rovnou označit jako x1:

    \[x_{1}=0\]

Druhá možnost tvoří jednoduchou lineární rovnici, kterou lehce dopočítáme a získáme tak druhý kořen, který označíme jako x2:

    \begin{align*}3x+5&=0\;\lvert-5 \\3x&=-5\;\lvert:3 \\x_2&=-\frac{5}{3}\end{align*}

Pro každou kvadratickou rovnici bez absolutního členu platí, že má vždy dva kořeny, z nichž alespoň jeden je roven nule. To mj. znamená, že neexistuje kvadratická rovnice bez absolutního členu, která by řešení neměla.

Shrnutí

Na závěr si všechny poznatky z tohoto článku stručně shrneme:

Existují dva druhy neúplných kvadratických rovnic: ryze kvadratické rovnice a kvadratické rovnice bez absolutního členu.

Každou neúplnou kvadratickou rovnici můžeme vyřešit stejným postupem jako kvadratickou rovnici úplnou anebo použít zkrácený postup.

Pro ryze kvadratické rovnice platí:

  • Koeficient b = 0.
  • Pokud má rovnice řešení, jsou to vždy dvě navzájem opačná čísla.
  • Můžeme ji vyřešit způsobem, že upravíme její tvar tak, abychom na levé straně měli pouze x2 a na pravé straně číslo. Poté toto číslo odmocníme a kladná i záporná varianta výsledku budou námi hledané kořeny.
  • Pokud po úpravě popsané v předchozí odrážce budeme mít na pravé straně rovnice číslo záporné, pak rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení.
  • Speciálním druhem ryze kvadratické rovnice je rovnice, která nemá ani absolutní ani lineární člen. Taková rovnice má jeden dvojnásobný kořen x = 0.

Pro kvadratické rovnice bez absolutního členu platí:

  • Koeficient c = 0.
  • Rovnice má dva kořeny, z nichž jeden je vždy roven nule.
  • Můžeme ji vyřešit způsobem, že z její levé strany vytkneme neznámou x před závorku. Prvním kořenem bude číslo 0 a druhý získáme tak, že si sestavíme jednoduchou lineární rovnici z výrazu v této závorce, kterou položíme rovnou nule a takto získanou rovnici vyřešíme.
  • Neexistuje kvadratická rovnice bez absolutního členu, která by neměla žádné řešení.

Závěr

V tomto článku jsme si podrobně popsali neúplné kvadratické rovnice. Navázali jsme tak na předchozí díl, ve kterém jsme si popsali kvadratické rovnice úplné. V příštím díle článku si popíšeme vztahy mezi koeficienty a kořeny kvadratické rovnice (tzv. Viètovy vzorce) a způsob, jak se u některých úplných kvadratických rovnic dají využít k jejich rychlému vyřešení. Také si řekneme, co to je kvadratická rovnice v normovaném tvaru a tento miniseriál zakončíme.

Jsem lektor matematiky a tvůrce matematických vzdělávacích online kurzů. Pomáhám úspěšně zvládnout matematiku studentům, které tento předmět trápí nebo kteří si chtějí zlepšit své znalosti a mít lepší výsledky.